А2. Алгебра логики

Пример задания 1

Для какого из приведённых имён истинно высказывание:

НЕ(Первая буква гласная) И (Количество букв > 5)?

1) Иван 2) Николай 3) Семён 4) Илларион
Ответ

2) Николай

Решение

Построим таблицу истинности:

А — Первая буква гласная

Б — Количество букв > 5

0 — ложь, 1 — истина

А Б НЕ(А) НЕ(А) И (Б)
Иван 1 0 0 0
Николай 0 1 1 1
Семён 0 0 1 0
Илларион 1 1 0 0

Заполняем столбцы А и Б — если высказывание соответствует истине — ставим 1, в противном случае — 0.

Так у Ивана первая буква И — гласная = 1, Николай — Н — согласная = 0 и т.д.

Заполняем столбец НЕ(А) — НЕ — инверсия: 0 становится 1, а 1 — 0. Таким образом в столбце НЕ(А) записываем значения столбца А наоборот.

Заполняем столбец НЕ(А) И (Б) — это и есть наше исходное выражение. Для заполнения берём данные из столбца НЕ(А) и Б — логическое И — конъюнкция — логическое умножение.

Мнемоника: и то, и другое — т.е. всё и сразу. Надо две единицы, чтобы получить 1, в противном случае — ничего, т.е. 0

Ещё раз внимательно читаем задание — спрашивается, для кого значение ИСТИННО. Смотрим таблицу — 1 — истина — только напротив Семёна.

Разумеется, данный пример можно решить и просто логически, без построения таблицы. Однако, попадаются задания, которые можно решить только построением, дабы не наделать ошибок. Пример далее.

Пример задания 2

Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:
НЕ (число> 50) ИЛИ (число чётное)?
1) 123 2) 56 3) 9 4) 8

Решение

Построим таблицу истинности:

А — число> 50

Б — число чётное

0 — ложь, 1 — истина

А Б НЕ(А) НЕ(А) ИЛИ (Б)
123 1 0 0 0
56 1 1 0 1
9 0 0 1 1
8 0 1 1 1

А вы обратили внимание, что в задании спрашивается, для какого из чисел значение логического выражения ЛОЖНО?

Заполняем столбцы А и Б — если высказывание соответствует истине — ставим 1, в противном случае — 0.

Заполняем столбец НЕ(А) — НЕ — инверсия: 0 становится 1, а 1 — 0. Таким образом в столбце НЕ(А) записываем значения столбца А наоборот.

Заполняем столбец НЕ(А) ИЛИ (Б) — это и есть наше исходное выражение. Для заполнения берём данные из столбца НЕ(А) и Б — логическое ИЛИ — дизъюнкция — логическое сложение.

Мнемоника: или то, или другое — ну хоть что-нибудь. Достаточно хотя бы одной 1, чтобы получить 1, две — так вообще замечательно.

Смотрим таблицу — 1 — ложь — только напротив 123.

Что нужно знать

1. Условные обозначения логических операций

НЕ(А), ¬А, Ӑ — отрицание, инверсия

А И В, А & В, А ˄ В — логическое умножение, конъюнкция

А ИЛИ В, А | В, А ˅ В — логическое сложение, дизъюнкция

2. Порядок выполнения логических операций

Если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И» (Конъюнкция, логическое умножение), затем  – «ИЛИ» (Дизъюнкция, логическое сложение) => (НКД)

2. Таблицы истинности логических операций

Инверсия

Мнемоника: всё наоборот — 0 становится 1, 1 становится 0.

А НЕ(А)
0 1
1 0

Конъюнкция (логическое И)

Мнемоника: и то, и другое — т.е. всё и сразу. Надо две единицы, чтобы получить 1, в противном случае — ничего, т.е. 0

А В А И В
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Дизъюнкция (логическое ИЛИ)

Мнемоника: или то, или другое — ну хоть что-нибудь. Достаточно хотя бы одной 1, чтобы получить 1, две — так вообще замечательно.

А В А И В
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1