А2. Алгебра логики
Пример задания 1
Для какого из приведённых имён истинно высказывание:
НЕ(Первая буква гласная) И (Количество букв > 5)?
| 1) Иван | 2) Николай | 3) Семён | 4) Илларион |
2) Николай
Решение
Построим таблицу истинности:
А — Первая буква гласная
Б — Количество букв > 5
0 — ложь, 1 — истина
| А | Б | НЕ(А) | НЕ(А) И (Б) | |
|---|---|---|---|---|
| Иван | 1 | 0 | 0 | 0 |
| Николай | 0 | 1 | 1 | 1 |
| Семён | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Илларион | 1 | 1 | 0 | 0 |
Заполняем столбцы А и Б — если высказывание соответствует истине — ставим 1, в противном случае — 0.
Так у Ивана первая буква И — гласная = 1, Николай — Н — согласная = 0 и т.д.
Заполняем столбец НЕ(А) — НЕ — инверсия: 0 становится 1, а 1 — 0. Таким образом в столбце НЕ(А) записываем значения столбца А наоборот.
Заполняем столбец НЕ(А) И (Б) — это и есть наше исходное выражение. Для заполнения берём данные из столбца НЕ(А) и Б — логическое И — конъюнкция — логическое умножение.
Мнемоника: и то, и другое — т.е. всё и сразу. Надо две единицы, чтобы получить 1, в противном случае — ничего, т.е. 0
Ещё раз внимательно читаем задание — спрашивается, для кого значение ИСТИННО. Смотрим таблицу — 1 — истина — только напротив Семёна.
Разумеется, данный пример можно решить и просто логически, без построения таблицы. Однако, попадаются задания, которые можно решить только построением, дабы не наделать ошибок. Пример далее.
Пример задания 2
| 1) 123 | 2) 56 | 3) 9 | 4) 8 |
1) 123
Решение
Построим таблицу истинности:
А — число> 50
Б — число чётное
0 — ложь, 1 — истина
| А | Б | НЕ(А) | НЕ(А) ИЛИ (Б) | |
|---|---|---|---|---|
| 123 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 56 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 0 | 1 | 1 | 1 |
А вы обратили внимание, что в задании спрашивается, для какого из чисел значение логического выражения ЛОЖНО?
Заполняем столбцы А и Б — если высказывание соответствует истине — ставим 1, в противном случае — 0.
Заполняем столбец НЕ(А) — НЕ — инверсия: 0 становится 1, а 1 — 0. Таким образом в столбце НЕ(А) записываем значения столбца А наоборот.
Заполняем столбец НЕ(А) ИЛИ (Б) — это и есть наше исходное выражение. Для заполнения берём данные из столбца НЕ(А) и Б — логическое ИЛИ — дизъюнкция — логическое сложение.
Мнемоника: или то, или другое — ну хоть что-нибудь. Достаточно хотя бы одной 1, чтобы получить 1, две — так вообще замечательно.
Смотрим таблицу — 1 — ложь — только напротив 123.
Что нужно знать
1. Условные обозначения логических операций
НЕ(А), ¬А, Ӑ — отрицание, инверсия
А И В, А & В, А ˄ В — логическое умножение, конъюнкция
А ИЛИ В, А | В, А ˅ В — логическое сложение, дизъюнкция
2. Порядок выполнения логических операций
Если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И» (Конъюнкция, логическое умножение), затем – «ИЛИ» (Дизъюнкция, логическое сложение) => (НКД)
2. Таблицы истинности логических операций
Инверсия
Мнемоника: всё наоборот — 0 становится 1, 1 становится 0.
| А | НЕ(А) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Конъюнкция (логическое И)
Мнемоника: и то, и другое — т.е. всё и сразу. Надо две единицы, чтобы получить 1, в противном случае — ничего, т.е. 0
| А | В | А И В |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Дизъюнкция (логическое ИЛИ)
Мнемоника: или то, или другое — ну хоть что-нибудь. Достаточно хотя бы одной 1, чтобы получить 1, две — так вообще замечательно.
| А | В | А И В |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
